9° MATEMÁTICAS

SUCESIONES Y SERIES

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. El rango de una sucesión es cualquier conjunto, ya sea de letras, símbolos arbitrarios, números,... El rango de una sucesión se nota como el conjunto \(S( n)=\{s( n)\}=\{s(1),\, s(2),\, s(3),\,\cdots\}\) que también se escribe \(\{s_1,\, s_2,\, s_3,\,\cdots\}\).

Una sucesión finita es aquella cuyo dominio es un subconjunto finito de los números enteros positivos.

Ejemplo:

Encontremos los tres primeros términos de la sucesión \(S( n)=\{s_n\}=\{\frac{n}{n+1}\}\)

Solución:

• El primer término que se encuentra haciendo n = 1 es:
  \(S( n)=\{s_1\}=\{\frac{1}{1+1}\}=\frac{1}{2}\)
• El segundo término que se encuentra haciendo n=2 es:
  \(S( n)=\{s_2\}=\{\frac{2}{2+1}\}=\frac{2}{3}\)
• El primer término que se encuentra haciendo n=3 es:
  \(S( n)=\{s_3\}=\{\frac{3}{3+1}\}=\frac{3}{4}\)

Si para expresar una sucesión se indica el valor de uno o más de sus primeros términos y luego se expresa el término n-ésimo a partir de uno o más de los términos anteriores, se dice que la sucesión se ha definido por recurrencia.

Ejemplo 1:

La sucesión ( n) = {3, 5, 7, 9,...}. Ella puede expresarse también como:

\(A( n)=\displaystyle\left\{ {3\, si\, n=1\atop\Large a_n=a_{n-1}+2\, si\, n>1}\right\}\)

Ejemplo 2:

Definamos la sucesión \(G( n)=\{5,\,\frac{5}{2},\frac{5}{4},\frac{5}{8},\cdots\}\) por recurrencia

La sucesión \(G( n)={5,\,\frac{5}{2},\frac{5}{4},\frac{5}{8},\cdots\}\) puede definrse por recurrencia como:

\(G( n)=\displaystyle\left\{ {5\, si\, n=1\atop\Large a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}\, si>1}\right\}\)

En las sucesiones que hemos descrito en los ejemplos anterior se observa:

•  

  En la sucesión {3, 5, 7, 9,...} los elementos aumentan a medida que aumenta su orden en la secuencia, es decir n. Esta sucesión se dice que crece.
  

   

  Una sucesión \(\{a_n\}\) se dice que es creciente si para todo valor de \(n\) se cumple que \(a_n<a_{n+1}\), es decir cuando toma valores en los enteros positivos, ordenadamente, los términos correspondientes de la sucesión aumentan. Luego,
  a_1<a_2<a_3<a_4<...a_n<a_{n+1}<...

•  

  En la sucesión \(\{5,\,\frac{5}{2},\frac{5}{4},\frac{5}{8},\cdots\}\) los elementos disminuyen a medid que aumenta \(n\). Esta sucesión se dice que decrece.
  

   

  Una sucesión \(\{a_n\}\) se dice que es decreciente si para todo valor de \(n\) se cumple que \(a_n>a_{n-+1}\), es decir, cuando n varía ordenadamente tomando valores en los enteros positivos, los términos corresponidientes de la sueción dsminuyen. Esto es:
  a_1>a_2>a_3>a_4>...>a_n>a_{n+1}>...

En la sucesión {-1, 2, -3, 4, -5, 6,...} los términos amentan algunas veces y disminuyen otras, respecto al anterior, luego no puede decirse que aumenta o disminuyen a medida que aumenta \(n\). Está sucesión no es creciente ni decreciente.

Consideremos una sucesión cualquiera S( n), por ejemplo, S( n) = {S_n} = {1, 3, 5, 7, 9,...}. A partir de sus términos es posible formar una nueva sucesión \(\{\sum ( n)\}\) de modo que:

\(\tiny\sum\) (1)=1; \(\tiny\sum\) (2) = 1 + 3 = 4;

\(\tiny\sum\) (3) = 1 + 3 + 5 = 9; \(\tiny\sum\) (4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

\(\tiny\sum\) \(( n)=1+3+5+7+9+\cdots +s_n\)

La sucesión que se obtiene de esta manera se llama serie asociada a la sucesión S( n) que se indica \(\tiny\sum\) \(s_n\), cuyos elementos son \(1,\, 4,\, 9,\, 16,\cdots ,\, n^2,\cdots\)

El término n-ésimo de la serie \(\tiny\sum\) \(s_n\), es decir, la suma \(s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots +s_n\) se escribe por medio del símbolo de la siguiente figura, que se lee "suma desde j=1 hasta j=n de \(s_n\)" El signo \(\tiny\sum\) se conoce como sumatoria.

\(\Large\bf\sum_{j=1}^n\; a_n\)

Ejemplo:

Escribamos la suma \(\sum_{j=1}^5\; (2)^{j+1}\)

Solución

\(\sum_{j=1}^5\; (2)^{j+1}=2^{1+1}+2^{2+1}+2^{3+1}+2^{4+1}+2^{5+1}\)

\(=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\)

=4+8+16+32+64

=124

PREGUNTA: El resultado de calculo de la sumatoria \(\sum_{j=1}^3\; (2j)^{j+1}\)  es: