Al resolver ecuaciones algebraicas, en los números reales, es evidente que toda ecuación de primer grado con incógnita x, puede reducirse a la forma \(ax+b=0\) \((con\, a\neq 0)\) y su solución únicas es el numero real \(x=-\frac{b}{a}\).
Si la ecuación es de segundo grado para la incógnita x, puede reducirse a la forma \(ax^2+bx+c=0\, (con\, a\neq 0)\) y en tal caso:
· Su conjunto solución tiene dos elementos, que son los números reales
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, y\, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), siempre y cuando se cumpla que \(b^2-4ac>0\)
· Su conjunto solución tiene un solo elemento, que es el número real \(x=-\frac{b}{2a}\, cuando\, b^2-4ac=0\)
· Su conjunto solución no tiene elementos reales, es decir, la ecuación no tiene solución en los números reales si \(b^2-4ac<0\), por cuanto no existe un número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Recordemos que \(a^2>0\) para todo número real \(a\). (1)
En particular la ecuación cuadrática \(x^2+100\), que puede escribirse como \(1x^2+0x+100\), tiene como soluciones \(x_1=\sqrt{-100}\, y\, x_2=-\sqrt{-100}\), números que no son reales.
Así mismo resultado llegamos si toma la ecuación \(x^2+1=0\) y escribimos \(x^2=-1\); en tal caso, es necesario encontrar un numero cuyo cuadrado sea \(-1\); de acuerdo con (1), es imposible que tal número sea real.
Los matemáticos llamaron “imaginarios” a los números cuyo cuadrado es un número negativo y posteriormente idearon el símbolo \(i\), por \(i\) comienza la palabra imaginario, para representar al numero cuyo cuadrado es \(-1\), es decir, estableciendo que \(i^2=-1\)
Como resultado tenemos que \(i\) no es un número real y además que el producto de un real por \(i\) tampoco es un número real.
Como en los números reales todo cuadrado es un numero real no negativo, la solución de la ecuación \(x^2=1\) no es un numero real. Se acepta que existe un numero notado \(i\), que no es real, para le cual \(i^2=-1\).
Ahora nos preguntamos: si adicionamos un número real con el producto de un real por \(i\), ¿la suma \(a+bi\) es un numero real?
Un número de la forma \(a+bi\), en donde \(a\) y \(b\) son números reales, no es un numero real. Todos los números de la forma \(a+bi\) se llaman complejos. En un número complejo \(a\) se llama parte real y \(bi\) se llama parte imaginaria. Esta forma de representar a los números complejos se llama forma binomial, por cuanto puede considerarse \(a+bi\) como un binomio algebraico.
Dos números complejos son iguales cuando su parte real y su parte imaginaria, respectivamente son iguales.
Ejemplo:
Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de los números: \(\frac{4}{5}+3i,\, -2-0.7i,\, 0.1-4i,\,\sqrt{5i}\).
· Para el numero complejo \(\frac{4}{5}+3i\) la parte real es \(\frac{4}{5}\)y la parte imaginaria es \(3i\)
· Para el numero complejo \(-2-0.7i\) la parte real es \(-2\) y la parte imaginaria es \(-0.7i\)
· Para el numero complejo \(0.1-4i\) la parte real es 0.1 y la parte imaginaria es \(-4i\)
· Para el numero complejo \(\sqrt{5i}\) la parte real es \(0\) y la parte imaginaria es \(\sqrt{5i}\)
Ejemplo 2:
¿Cuál es la parte imaginaria de los números \(0.23;\, 1+\pi\)?
Estos números son reales y, por tanto, “no tienen” parte imaginaria. Sin embargo, es importante anotar que le numero real \(a\) puede escribirse como \(a+0i\) y se acepta que su parte imaginaria es \(0i\).
Todo numero real \(\bf a\) puede escribirse como el complejo \(a+0i\); por tal razón, a todo numero real \(\bf a\) le corresponde la representación compleja \(a+0i\), en donde \(0i\) es su parte imaginaria. En este sentido se acepta que todo número real es un número complejo.
Ejemplo 3:
Hallemos la suma de \((3-\frac{3}{4}i)\, y\, (-0.2+\frac{1}{4}i)\)
Para obtener la suma operamos las partes reales y las partes complejas por separado; el resultado
\((3-\frac{3}{4}i)+(0.2+\frac{1}{4}i)=(3-0.2)((-\frac{3}{4})i+\frac{1}{4}i)\)
\(=2.8+(-\frac{2}{4})i=2.8-\frac{1}{2}i\)
Si \(a,\, b,\, c\) y \(d\) son números reales, entonces:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
Por tanto, la adición de dos números complejos es un numero complejo, cuya parte real es la asuma de la parte real de los sumandos y la parte imaginaria es la suma de la parte imaginaria de los sumandos.
Las propiedades de la adición de números complejos son las mismas que las de la adicción de los números reales.
Modulo de la adición de los números complejos
Si suponemos que le modulo tiene la forma \(x+yi\), entonces:
\((a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i\)
\(=a+bi\)
Luego \(x=0\) y \(y=0\). En conclusión, el modulo de la adición de los complejos es el complejo \(0+0i\).
Opuesto del complejo \(a+bi\)
Para que \((a+bi)+(m+ni)=(a+m)+(b+n)i=0+0i\)
Se debe cumplir que \(m=-a\) y \(n=-b\)
Por tanto, el opuesto de \((a+bi)\, es\, (-a-bi)\)
El módulo de la adición de los números complejos es el complejo \(0+0i\) y el opuesto del complejo \(a+bi\) es el numero \(-a-bi\).
PREGUNTA: Al realizar la operación \((3.1-2i)+(5+3i)\) el resultado es: