SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una función definida de números reales a números reales (\(\Re\) en \(\Re\)), cuyos valores están dados por un polinomio de la forma:
\(\bf\Large f( x)=ax^2+bx+c\), donde \(a,\, b,\, c\in\R\, y\, a\neq 0\)
Toma el nombre de función polinomial de segundo grado o simplemente función cuadrática.
Es conveniente anotar que en \(f(x)=ax^2+bx+c\), la variable o incógnita es \(x\), el número real \(a\) es el coeficiente de la variable elevada al cuadrado, \(b\) es el coeficiente de la variable elevada a la potencia \(1\), y \(c\) es un término constante o independiente.
Formas de la función cuadrática
De acuerdo con la definición de función cuadrática, esta puede tener uno, dos o tres términos. Lo anterior quiere decir que existen forma incompletas y una forma completa, teniendo en cuenta el número de términos; luego se puede clasificar la función cuadrática así:
Formas incompletas:
1. \(f( x)=ax^2\)
Ejemplos: \(f(x)=3x^2\) \(f(x)=6x^2\) \(f(x)=\pi x^2\) \(f(x)=x^2\)
Ejemplos:
\(f(x)=3x^2\) \(f(x)=6x^2\) \(f(x)=\pi x^2\) \(f(x)=x^2\)
\(f(x)=3x^2\)
\(f(x)=6x^2\)
\(f(x)=\pi x^2\)
\(f(x)=x^2\)
2. \(g( x)=ax^2+bx\)
Ejemplos: \(g(x)=4x^2+3x\) \(g(x)=36x^2+23x\) \(g(x)=12x^2+581x\) \(g(x)=x^2+3x\) \(g(x)=x^2+x\) \(g(x)=3x^2+x\)
\(g(x)=4x^2+3x\) \(g(x)=36x^2+23x\) \(g(x)=12x^2+581x\) \(g(x)=x^2+3x\) \(g(x)=x^2+x\) \(g(x)=3x^2+x\)
\(g(x)=4x^2+3x\)
\(g(x)=36x^2+23x\)
\(g(x)=12x^2+581x\)
\(g(x)=x^2+3x\)
\(g(x)=x^2+x\)
\(g(x)=3x^2+x\)
3. \(h( x)=ax^2+c\)
Ejemplos: \(h(x)=65x^2+3\) \(h(x)=58x^2+9\) \(h(x)=\pi x^2+3\) \(h(x)=x^2+2\) \(h(x)=4x^2+\pi\)
\(h(x)=65x^2+3\) \(h(x)=58x^2+9\) \(h(x)=\pi x^2+3\) \(h(x)=x^2+2\) \(h(x)=4x^2+\pi\)
\(h(x)=65x^2+3\)
\(h(x)=58x^2+9\)
\(h(x)=\pi x^2+3\)
\(h(x)=x^2+2\)
\(h(x)=4x^2+\pi\)
Forma completa:
\(f(x)=ax^2+bx+c\) con a, b, c, \(\in\) \(\Re\) y a\(\neq\)0
Ejemplos: \(f(x)=8x^2+3x+6\) \(f(x)=56x^2+54x+1\) \(f(x)=x^2+3x+1\) \(f(x)=3x^2+x+3\)
\(f(x)=8x^2+3x+6\) \(f(x)=56x^2+54x+1\) \(f(x)=x^2+3x+1\) \(f(x)=3x^2+x+3\)
\(f(x)=8x^2+3x+6\)
\(f(x)=56x^2+54x+1\)
\(f(x)=x^2+3x+1\)
\(f(x)=3x^2+x+3\)
Ya hemos visto que no importa que valor acompaña la x ya que puede ser \(\pi\) o cualquier otro número real, lo importante para poder indentificar un función cuadrática es ver que el maximo valor del exponente de la x es 2.
Ejemplos practicos:
Hallemos la solución de las ecuaciones
a. \(p^2=64\) b. \(6h^2=294\)
a. \(p^2=64\)
b. \(6h^2=294\)
Solución:
a. \(p^2=64\) (ecuación dada) \(p=\pm\sqrt{64}\) (raiz en ambos lados de ecuación) \(p=\pm 8\) (recordemos que cuando sacamos una raiz cuadrada siempre va \(\pm\))
a. \(p^2=64\) (ecuación dada)
\(p=\pm\sqrt{64}\) (raiz en ambos lados de ecuación)
\(p=\pm 8\) (recordemos que cuando sacamos una raiz cuadrada siempre va \(\pm\))
La solución es {-8,8}
\(6h^2=294\) \(h^2=\frac{294}{6}\) \(h^2=49\) \(h=\pm\sqrt{49}\) \(h=\pm 7\)
\(h^2=\frac{294}{6}\) \(h^2=49\) \(h=\pm\sqrt{49}\) \(h=\pm 7\)
\(h^2=\frac{294}{6}\)
\(h^2=49\)
\(h=\pm\sqrt{49}\)
\(h=\pm 7\)
La solución es \(\{-7,7\}\)
Ejemplo 2:
Un cuadrado tiene de lado \(x+3\) y su área es \(100\, cm^2\); hallemos el valor de \(x\).
Tenemos la ecuación \((x+3)^2=100\) de donde:
\(x+3=\pm\sqrt{100};\, x+3=\pm 10\) \(x=-3\pm 10\) \(x=-13\) ó \(x=7\)
\(x+3=\pm\sqrt{100};\, x+3=\pm 10\)
\(x=-3\pm 10\)
\(x=-13\) ó \(x=7\)
La solución de la ecuación es \(\{-13,7\}\).
Podemos verificar.
Si \(x=-13\), se tiene: \((-13+3)^2=(-10)^2=100\) Si \(x=7\), se tiene: \((7+3)^2=(10)^2=100\)
Si \(x=-13\), se tiene: \((-13+3)^2=(-10)^2=100\)
Si \(x=7\), se tiene: \((7+3)^2=(10)^2=100\)
Sin embargo la solución del problema es sólo 7, ya que \(x\) representa una longitud.
Expresiones como \(p^2,\,(x+3)^2,\,(2x+5)^2\), se denominan cuadrados perfectos.
Para que una ecuación cuadrática de la forma \((x+a)^2=b\) tenga solución en el conjunto de los números reales, se requiere que \(b\geq 0\)
Ejemplo: Solucionemos la ecuación: \(5(x-9)^2=60\)
\(5(x-9)^2=60\)
\((x-9)^2=12\)
Multiplicamos a ambos lados por \(\frac{1}{5}\)
\((x-9)=\pm\sqrt{12}\)
Sacamos raíz cuadrada a ambos lados
\(x-9=\pm\sqrt{3}\)
Descomponemos a 12 en factores primos y extraemos la raíz cuadrada.
\(x=9\pm 2\sqrt{3}\)
Adicionamos 9 a ambos lados.
La solución es \(\{9-2\sqrt{3},\, 9+2\sqrt{3}\}\) la cual puede verificarse.
Resolvamos, la ecuación \(4(3x+1)^2+43=7\)
Veamos:
\(4(3x+1)^2+43=7\) \(4(3x+1)^2=7-43\) \(4(3x+1)^2=-36\) \((3x+1)^2=-9\)
\(4(3x+1)^2+43=7\)
\(4(3x+1)^2=7-43\)
\(4(3x+1)^2=-36\)
\((3x+1)^2=-9\)
La ecuación no tiene solución, porque ningún número real, elevado al cuadrado, da como resultado \(-9\).
No toda ecuación cuadrática tiene la forma \((x\pm a)^2=b\), pero se puede trasformar y llevar a dicha forma, por medio del método llamado completación del cuadrado.
Recordemos el resultado que se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio:
En cada caso, el coeficiente de \(x^2\) es \(1\) y el término constante corresponde al cuadrado de la mitad del coeficiente de \(x\).
Método de completación del cuadrado.
Si tenemos la expresión \(x^2+px\), observamos que hace falta el término constante para que corresponda al desarrollo del cuadrado de un binomio.
Entonces la expresión dada podemos trasformarla.
\(x^2+px+?\)
Paso 1. Hallemos la mitad del coeficiente de \(x:\frac{p}{2}\)
Paso 2. Obtengamos el cuadrado del resultado hallado en el paso anterior: \((\frac{p}{2})^2\)
Paso 3. Adicionemos la expresión obtenida en el paso 2 a la expresión \(x^2+px\) y factoricemos:
\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2\) TENER EN CUENTA: EN UNA ECUACIÓNDE LA FORMA \( ax^2+bx+c\) EL TERMINO \(c=(\frac{b}{2})^2\) Ejemplo:
\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2\)
TENER EN CUENTA: EN UNA ECUACIÓNDE LA FORMA \( ax^2+bx+c\) EL TERMINO \(c=(\frac{b}{2})^2\)
Ejemplo:
Completemos el cuadrado en:
\(x^2-18x+?\) Paso 1. \((-\frac{18}{2})=-9\) Paso 2. \((-9)^2=81\) Paso 3. \(x^2-18x+81=(x-9)^2\)
\(x^2-18x+?\)
Paso 1. \((-\frac{18}{2})=-9\)
Paso 2. \((-9)^2=81\)
Paso 3. \(x^2-18x+81=(x-9)^2\)
Resolvamos la ecuación \(10x^2-17x+3=0\)
PREGUNTA: ¿El conjunto solución de \(x^2+ 5x -14=0\) es?