Recordemos que la raiz cuadrada de un número \(b\) es un número no negativo \(a\), tal que \(a^2=b\), es decir: \(\sqrt{b}=a\).
La raíz cúbica de un número \(b\)es un número \(a\), tal que \(a^3=b\), es decir: \(\sqrt[3]{b}=a\).
Para definir la raíz n-ésima de un número decimos: \(a\)es una raíz n-ésima de \(b\)si \(a^n=b\). Es decir: \(\sqrt[n]{b}=a\)
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales podemos escribirlos como una potencia con exponente racional y les aplicamos las propiedades de los exponentes; de esta ,manera definimos las siguientes PROPIEDADES DE LOS RADICALES.
si \(x,\, y\in\mathbb{R},\, m,\, n\in\mathbb{N}\)
1. \(\Huge \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}},\,\, x\geq 0\) para n par 2. \(\Huge \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}\) 3. \(\Huge \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n*m]{x}\) 4. \(\Huge \sqrt[n]{x*y}=\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}\) 5. \(\Huge \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},\,\, y\neq 0\) 6. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=\mid a \mid\) para n par. 7. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=a\) para n impar.
1. \(\Huge \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}},\,\, x\geq 0\) para n par
2. \(\Huge \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}\)
3. \(\Huge \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n*m]{x}\)
4. \(\Huge \sqrt[n]{x*y}=\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}\)
5. \(\Huge \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},\,\, y\neq 0\)
6. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=\mid a \mid\) para n par.
7. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=a\) para n impar.
Al aplicar estas propiedades debemos tener precaución cuando x,\(y\leq 0\).
Ejemplo: Propiedad 1
simplifiquemos.
\(\LARGE\sqrt{\sqrt{\LARGE\sqrt{x}}}=\sqrt{\sqrt{x^{\frac{1}{2}}}}\) \(=\sqrt{(x^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{(x)^{\frac{1}{4}}}\) \(=(x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}\) \(=x^{\frac{1}{8}}\)
\(\LARGE\sqrt{\sqrt{\LARGE\sqrt{x}}}=\sqrt{\sqrt{x^{\frac{1}{2}}}}\)
\(=\sqrt{(x^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{(x)^{\frac{1}{4}}}\)
\(=(x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}\)
\(=x^{\frac{1}{8}}\)
Ejemplo 2: Propiedad 4
Encontremos la \(\sqrt{32}\) \(\sqrt{32}=\sqrt{2^4*2}=\sqrt{2^4}*\sqrt{2}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
Encontremos la \(\sqrt{32}\)
\(\sqrt{32}=\sqrt{2^4*2}=\sqrt{2^4}*\sqrt{2}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
Ejemplo 3:
Simplificar y expresar con exponente positivo.
\((\frac{5\sqrt{y}}{125\sqrt[3]{y}})^3\) \(=\frac{5^3\sqrt{y}^3}{125^3\sqrt[3]{y}^3}\) \(=\frac{125\sqrt{y}\sqrt{y}^2}{125^3\sqrt[3]{y^3}\) \(=\frac{y\sqrt{y}}{125^2y}\) \(=\frac{\sqrt{y}}{15625}\)
\((\frac{5\sqrt{y}}{125\sqrt[3]{y}})^3\)
\(=\frac{5^3\sqrt{y}^3}{125^3\sqrt[3]{y}^3}\)
\(=\frac{125\sqrt{y}\sqrt{y}^2}{125^3\sqrt[3]{y^3}\)
\(=\frac{y\sqrt{y}}{125^2y}\)
\(=\frac{\sqrt{y}}{15625}\)
El siguiente video, le ayudará a profundizar el tema. Debe leerlo detenida y pausadamente, resolviendolo en la libreta de notas:
Fuente:http://www.youtube.com/watch?v=oQRf4lSIfY4
PREGUNTA: Simplificar \(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\)