SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LA FORMA X+A=B; AX=B
En la clínica veterinaria “Animal Saludable”, uno de los datos de la ficha clínica del animal es su peso. Como los animales no se quedan quietos, el medico veterinario acostumbra alzarlos y se pesa con ellos. El martes llenaron la ficha clínica de Tarzán. La báscula registró 83 kilos cuando lo alzaron. Si se sabe el peso del médico veterinario es 69 kilos. ¿Cuál es el peso de Tarzán?
Si representamos el peso del perro por p, tenemos.
Peso de Tarzán en kilos
Peso del veterinario en kilos
Igual
Dato báscula en kilos
p
+ 69
=
83
En el supermercado se pagó $ 3.300 por una bolsa de 6 libras de arroz. ¿cuál es el precio de una libra de arroz?
Si llamamos d al dinero que se paga por una libra de arroz, tenemos:
Valor de una libra de arroz
Valor de seis libras de arroz
Dinero pagado
d
6*d
$ 3.300
En los ejemplos anteriores, las situaciones presentadas nos condujeron a las expresiones:
\(P+69=83;\, 6d=3300\), tales expresiones se denominan ecuaciones.
Cualquier afirmación matemática que utiliza el signo igual para establecer que dos expresiones algebraicas representan el mismo número o son equivalentes, se llama ecuación algebraica.
La afirmación hecha a través de una ecuación no es ni verdadera ni falsa, es una afirmación abierta. Por ejemplo: \(p+69=83\) es una afirmación que no es verdadera ni falsa, porque no conocemos el valor de la variable \(p\).
El conjunto de números de donde es posible elegir los valores para la variable, se llama conjunto referencial.
Según la ecuación, el peso de Tarzán es un número real positivo, por lo que el conjunto referencial, en este caso es \(\mathbb{R}^+\).
El número o números del conjunto referencial que hacen verdadera la ecuación se llaman conjunto solución. Hallar todas las soluciones de una ecuación es resolverla.
La solución de la ecuación \(p+69=83\) es \(p=14\).
Cuando el conjunto referencial tiene pocos elementos, una manera de resolver la ecuación es sustituir cada elemento en la ecuación para ver si se forma una afirmación verdadera.
Ejemplo:
Resolvamos la ecuación \(7x-8=19-2x\), sabiendo que el conjunto referencial es {2, 3, 4}.
Hagamos las sustituciones:
Si \(x=2\)
\(7(2)-8=19-2(2)\)\(14-8=19-4\)\(6=15\)
Falso
Si \(x=3\)
\(7(3)-8=19-2(3)\)\(21-8=19-6\)\(13=13\)
Verdadero
Si \(x=4\)
\(7(4)-8=19-2(4)\)
\(28-8=19-8\)\(20=11\)Falso
La solución de la ecuación es 3. El conjunto solución es {3}.
Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución se llaman equivalentes.
Las ecuaciones \(x-6=11\) “y” \(x-6=2\), no tienen el mismo conjunto solución, pues el de la primera es {17} y el de la segunda es {8}, por tanto, las ecuaciones no son equivalentes.
De otra parte, podemos hacer uso de las propiedades de la igualdad para trasformar una ecuación en otras equivalentes.
Obtener ecuaciones equivalentes, haciendo uso de las propiedades de la igualdad, de tal forma que una ecuación dada se trasforme en una ecuación equivalente, más sencilla, nos permite hallar la solución de dicha ecuación.
Hallemos la solución de la ecuación x + 13 = 49
\(x+13=49\)
Es equivalente a:
\(x+13+(-13)=49+(-13)\)
Se adiciona el opuesto de 13 en ambos lados de la ecuación.
\(x+[13+(-13)]=49-13\)
Aplicamos la propiedad asociativa de la adición.
\(x+0=36\)
Aplicamos la propiedad invertiva de la adición.
\(x=36\)
Aplicamos la propiedad modulativa de la adición.
Para solucionar ecuaciones de la forma \(x+a=b\) se adiciona el opuesto de a en ambos miembros y se trasforma en ecuaciones equivalentes haciendo uso de las propiedades de la adición de números reales.
Para hallar la solución de ecuaciones de la forma \(ax=b\), con \(a\neq 0\), se multiplican ambos miembros por el recíproco de a y se trasforma en ecuaciones equivalentes, mediante el uso de las propiedades de la multiplicación de números reales.
PREGUNTA: La solución de la siguiente ecuación es: \(6x-3=5\)